przez M. Bourne’a
Pole powierzchni pod krzywą poznaliśmy wcześniej w dziale Integracja (zobacz 3. Pole powierzchni pod krzywą), ale tutaj rozwiniemy to pojęcie dalej. (Możesz być również zainteresowany Archimedesem i obszarem odcinka parabolicznego, gdzie dowiadujemy się, że Archimedes rozumiał idee stojące za rachunkiem, 2000 lat przed Newtonem i Leibnizem!)
Ważne jest, aby naszkicować sytuację zanim zaczniemy.
Chcemy znaleźć obszar pod krzywą `y = f(x)` od `x = a` do `x = b`.
Możemy mieć kilka sytuacji:
Przypadek 1: Krzywe, które w całości leżą nad osią x.
Krzywa y = f(x), całkowicie powyżej osi x. Pokazuje „typowy” prostokąt, o szerokości Δx i wysokości y.
W tym przypadku obszar znajdujemy po prostu znajdując całkę:
`”Obszar”=int_a^bf(x)dx`
Skąd wziął się ten wzór?
Kontynuacja poniżej ⇩
Wideo mini-wykłady
Dla pewnego tła:
Mini-wykład o całkach
Różnica między całkami nieokreślonymi i określonymi
Integracja przez podstawienie
Obszar pod krzywą z pierwszych zasad
Na powyższym rysunku pokazano „typowy prostokąt” o szerokości `Δx` i wysokości `y`. Jego pole wynosi `yΔx`.
Jeśli dodamy wszystkie te typowe prostokąty, zaczynając od `a` i kończąc na `b`, to pole powierzchni wynosi w przybliżeniu:
`suma_{x=a}^b(y)Deltax`
Teraz, jeśli pozwolimy `Δx → 0`, możemy znaleźć dokładną powierzchnię przez całkowanie:
`”Obszar”=int_a^bf(x)dx`
Wynika to z Sum Riemanna, z rozdziału Wprowadzenie do całkowania.
Przykład z przypadku 1
Potrzebujesz papieru graficznego?
Znajdź obszar pod krzywą `y = x^2+ 2` od `x = 1` do `x = 2`.
Odpowiedź
Krzywa y = x2 + 2, przedstawiająca część pod krzywą od x = 1 do x = 2.
` tekst = int_a^b f(x) dx`
`=int_1^2(x^2+2)dx`
`=_1^2`
`=
`=13/3 tekst^2`
Przypadek 2: Krzywe znajdujące się całkowicie poniżej osi x
Rozważamy przypadek, w którym krzywa znajduje się poniżej osi `x` dla rozpatrywanego zakresu wartości `x`.
W tym przypadku całka daje liczbę ujemną. Musimy wziąć wartość bezwzględną tej liczby, aby znaleźć nasz obszar:
`”Obszar”=|int_a^bf(x)dx|`
Przykład z przypadku 2
Znajdź obszar ograniczony przez `y = x^2 – 4`, osią `x` oraz prostymi `x = -1` i `x = 2`.
Odpowiedź
Krzywa y = x2 – 4, przedstawiająca część pod krzywą od x = -1 do x = 2.
Wymagany obszar znajduje się w tym przykładzie całkowicie poniżej osi `x`, dlatego musimy stosować znaki wartości bezwzględnej.
Tekst = |int_a^bf(x) dx|`
`=|int_-1^2(x^2-4) dx|`
`=|_-1^2|`
`=||`
`=|-9|`
`=9 tekst^2`
Przypadek 3: Część krzywej jest poniżej osi x, część jest powyżej osi x
W tym przypadku musimy zsumować poszczególne części, biorąc wartość bezwzględną dla odcinka, w którym krzywa jest poniżej osi `x` (od `x = a` do `x = c`).
`”Obszar”=|int_a^cf(x)dx|+int_c^bf(x)dx`
Jeśli nie zrobimy tego w ten sposób, obszar „ujemny” (część poniżej osi `x`) zostanie odjęty od części „dodatniej”, a nasz obszar całkowity nie będzie prawidłowy.
Przykład z przypadku 3
Jaki jest obszar ograniczony krzywymi `y = x^3`, `x = -2` i `x = 1`?
Odpowiedź
Krzywa y = x3, przedstawiająca część pod krzywą od x = -2 do x = 1.
Widzimy z wykresu, że część pomiędzy `x = -2` a `x = 0` znajduje się poniżej osi x, więc musimy wziąć wartość bezwzględną dla tej części.
`tekst= |int_-2^0x^3 dx|+int_0^1x^3 dx`
`=|_-2^0|+_0^1`
`=|(0-16/4)|+(1/4-0)`
`=4+1/4`
`=4.25 tekst^2`
Nie rób tego w ten sposób!
Jeśli po prostu ślepo znajdziesz całkę od dolnej granicy do górnej granicy, nie otrzymasz rzeczywistego obszaru w takich przypadkach.
`tekst= int_(-2)^1x^3 dx`
`=_(-2)^1`
`=(1/4-16/4)`
`=-15/4`
`=-3,25`
To nie jest poprawna odpowiedź na pytanie o pole powierzchni pod krzywą. Jest to wartość całki, ale oczywiście obszar nie może być ujemny.
Zawsze najlepiej jest naszkicować krzywą przed znalezieniem obszarów pod krzywymi.
Podsumowanie (do tej pory)
W każdym z Przypadków 1, Przypadku 2 i Przypadku 3, sumujemy elementy od lewej do prawej, w ten sposób:
Znajdujemy (efektywnie) obszar poprzez poziome dodawanie obszarów prostokątów o szerokości `dx` i wysokości `y` (które znajdujemy poprzez podstawienie wartości `x` do `f(x)`).
Więc
`A=int_a^bf(x)dx`
(ze znakami wartości bezwzględnej, gdy jest to konieczne, jeśli krzywa przechodzi pod osią `x`).
Przypadek 4: Niektóre krzywe łatwiej jest sumować w pionie
W niektórych przypadkach łatwiej jest znaleźć pole powierzchni, jeśli sumujemy je w pionie. Czasami jedynym możliwym sposobem jest sumowanie w pionie.
W tym przypadku, znajdujemy obszar jest sumą prostokątów o wysokości `x = f(y)` i szerokości `dy`.
Jeśli mamy dane `y = f(x)`, to musimy ponownie wyrazić to jako `x = f(y)` i musimy sumować od dołu do góry.
Więc w przypadku 4 mamy:
`A=int_c^df(y)dy`
Przykład przypadku 4
Znajdujemy pole powierzchni regionu ograniczonego krzywą `y=sqrt(x-1)`, osią `y` oraz prostymi `y = 1` i `y = 5`.
Odpowiedź
Na początku szkic:
Krzywa x = y2 + 1, przedstawiająca część „pod” krzywą od y = 1 do y = 5.
W tym przypadku wyrażamy x jako funkcję y:
`y=sqrt{x-1}`
`y^2=x-1`
`x=y^2+1`
Więc powierzchnia jest dana przez:
`A=int_1^5(y^2+1) dy=_1^5`
`=45 1/3 tekstu`
Uwaga: Dla tego konkretnego przykładu, moglibyśmy również zsumować go poziomo (całkując `y` i używając `dx`), ale musielibyśmy najpierw podzielić go na części.
top
Search IntMath
Online Calculus Solver
Ten kalkulator może rozwiązać szeroki zakres problemów matematycznych.
Przejdź do: Online calculus solver