2. Pole powierzchni pod krzywą przez całkowanie

przez M. Bourne’a

Pole powierzchni pod krzywą poznaliśmy wcześniej w dziale Integracja (zobacz 3. Pole powierzchni pod krzywą), ale tutaj rozwiniemy to pojęcie dalej. (Możesz być również zainteresowany Archimedesem i obszarem odcinka parabolicznego, gdzie dowiadujemy się, że Archimedes rozumiał idee stojące za rachunkiem, 2000 lat przed Newtonem i Leibnizem!)

Ważne jest, aby naszkicować sytuację zanim zaczniemy.

Chcemy znaleźć obszar pod krzywą `y = f(x)` od `x = a` do `x = b`.

Możemy mieć kilka sytuacji:

Przypadek 1: Krzywe, które w całości leżą nad osią x.

Krzywa y = f(x), całkowicie powyżej osi x. Pokazuje „typowy” prostokąt, o szerokości Δx i wysokości y.

W tym przypadku obszar znajdujemy po prostu znajdując całkę:

`”Obszar”=int_a^bf(x)dx`

Skąd wziął się ten wzór?

Kontynuacja poniżej ⇩

Wideo mini-wykłady

Dla pewnego tła:

Mini-wykład o całkach

Różnica między całkami nieokreślonymi i określonymi

Integracja przez podstawienie

Obszar pod krzywą z pierwszych zasad

Na powyższym rysunku pokazano „typowy prostokąt” o szerokości `Δx` i wysokości `y`. Jego pole wynosi `yΔx`.

Jeśli dodamy wszystkie te typowe prostokąty, zaczynając od `a` i kończąc na `b`, to pole powierzchni wynosi w przybliżeniu:

`suma_{x=a}^b(y)Deltax`

Teraz, jeśli pozwolimy `Δx → 0`, możemy znaleźć dokładną powierzchnię przez całkowanie:

`”Obszar”=int_a^bf(x)dx`

Wynika to z Sum Riemanna, z rozdziału Wprowadzenie do całkowania.

Przykład z przypadku 1

Potrzebujesz papieru graficznego?

Znajdź obszar pod krzywą `y = x^2+ 2` od `x = 1` do `x = 2`.

Odpowiedź

Krzywa y = x2 + 2, przedstawiająca część pod krzywą od x = 1 do x = 2.

` tekst = int_a^b f(x) dx`

`=int_1^2(x^2+2)dx`

`=_1^2`

`=

`=13/3 tekst^2`

Przypadek 2: Krzywe znajdujące się całkowicie poniżej osi x

Rozważamy przypadek, w którym krzywa znajduje się poniżej osi `x` dla rozpatrywanego zakresu wartości `x`.

W tym przypadku całka daje liczbę ujemną. Musimy wziąć wartość bezwzględną tej liczby, aby znaleźć nasz obszar:

`”Obszar”=|int_a^bf(x)dx|`

Przykład z przypadku 2

Znajdź obszar ograniczony przez `y = x^2 – 4`, osią `x` oraz prostymi `x = -1` i `x = 2`.

Odpowiedź

Krzywa y = x2 – 4, przedstawiająca część pod krzywą od x = -1 do x = 2.

Wymagany obszar znajduje się w tym przykładzie całkowicie poniżej osi `x`, dlatego musimy stosować znaki wartości bezwzględnej.

Tekst = |int_a^bf(x) dx|`

`=|int_-1^2(x^2-4) dx|`

`=|_-1^2|`

`=||`

`=|-9|`

`=9 tekst^2`

Przypadek 3: Część krzywej jest poniżej osi x, część jest powyżej osi x

W tym przypadku musimy zsumować poszczególne części, biorąc wartość bezwzględną dla odcinka, w którym krzywa jest poniżej osi `x` (od `x = a` do `x = c`).

`”Obszar”=|int_a^cf(x)dx|+int_c^bf(x)dx`

Jeśli nie zrobimy tego w ten sposób, obszar „ujemny” (część poniżej osi `x`) zostanie odjęty od części „dodatniej”, a nasz obszar całkowity nie będzie prawidłowy.

Przykład z przypadku 3

Jaki jest obszar ograniczony krzywymi `y = x^3`, `x = -2` i `x = 1`?

Odpowiedź

Krzywa y = x3, przedstawiająca część pod krzywą od x = -2 do x = 1.

Widzimy z wykresu, że część pomiędzy `x = -2` a `x = 0` znajduje się poniżej osi x, więc musimy wziąć wartość bezwzględną dla tej części.

`tekst= |int_-2^0x^3 dx|+int_0^1x^3 dx`

`=|_-2^0|+_0^1`

`=|(0-16/4)|+(1/4-0)`

`=4+1/4`

`=4.25 tekst^2`

Nie rób tego w ten sposób!

Jeśli po prostu ślepo znajdziesz całkę od dolnej granicy do górnej granicy, nie otrzymasz rzeczywistego obszaru w takich przypadkach.

`tekst= int_(-2)^1x^3 dx`

`=_(-2)^1`

`=(1/4-16/4)`

`=-15/4`

`=-3,25`

To nie jest poprawna odpowiedź na pytanie o pole powierzchni pod krzywą. Jest to wartość całki, ale oczywiście obszar nie może być ujemny.

Zawsze najlepiej jest naszkicować krzywą przed znalezieniem obszarów pod krzywymi.

Podsumowanie (do tej pory)

W każdym z Przypadków 1, Przypadku 2 i Przypadku 3, sumujemy elementy od lewej do prawej, w ten sposób:

Znajdujemy (efektywnie) obszar poprzez poziome dodawanie obszarów prostokątów o szerokości `dx` i wysokości `y` (które znajdujemy poprzez podstawienie wartości `x` do `f(x)`).

Więc

`A=int_a^bf(x)dx`

(ze znakami wartości bezwzględnej, gdy jest to konieczne, jeśli krzywa przechodzi pod osią `x`).

Przypadek 4: Niektóre krzywe łatwiej jest sumować w pionie

W niektórych przypadkach łatwiej jest znaleźć pole powierzchni, jeśli sumujemy je w pionie. Czasami jedynym możliwym sposobem jest sumowanie w pionie.

W tym przypadku, znajdujemy obszar jest sumą prostokątów o wysokości `x = f(y)` i szerokości `dy`.

Jeśli mamy dane `y = f(x)`, to musimy ponownie wyrazić to jako `x = f(y)` i musimy sumować od dołu do góry.

Więc w przypadku 4 mamy:

`A=int_c^df(y)dy`

Przykład przypadku 4

Znajdujemy pole powierzchni regionu ograniczonego krzywą `y=sqrt(x-1)`, osią `y` oraz prostymi `y = 1` i `y = 5`.

Odpowiedź

Na początku szkic:

51015202530123456xy

x
dy
x = y2 + 1

Krzywa x = y2 + 1, przedstawiająca część „pod” krzywą od y = 1 do y = 5.

W tym przypadku wyrażamy x jako funkcję y:

`y=sqrt{x-1}`

`y^2=x-1`

`x=y^2+1`

Więc powierzchnia jest dana przez:

`A=int_1^5(y^2+1) dy=_1^5`

`=45 1/3 tekstu`

Uwaga: Dla tego konkretnego przykładu, moglibyśmy również zsumować go poziomo (całkując `y` i używając `dx`), ale musielibyśmy najpierw podzielić go na części.

top

Search IntMath

Online Calculus Solver

Ten kalkulator może rozwiązać szeroki zakres problemów matematycznych.

Przejdź do: Online calculus solver

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *