Przyglądaliśmy się znaczeniu pochodnej i jej różnym zapisom, w tym dy/dx. To prowadzi do następnego pytania: Co oznacza dx lub dy same w sobie? Zostało to poruszone ostatnim razem, ale jest dużo więcej do powiedzenia, czego nie udało mi się tam zmieścić. Przyjrzymy się bardziej zaawansowanym podejściom do różniczek samych w sobie, a następnie dwóm spojrzeniom na to, co oznaczają w całkach.
Różniczki jako funkcje
Zaczniemy od strony, do której dwóch z nas odwoływało się w naszych odpowiedziach ostatnim razem, a która pochodzi z 1998 roku:
DifferentialsI have to reach this conclusion:If you can get the differentials of a function, you can differentiate it, but if you can differentiate it, you can not necessarily get its differentials.Please help.
Jak już widzieliśmy, różniczki można omawiać z kilku różnych perspektyw. To pytanie, pozbawione jasnego kontekstu, nie wskazuje, jaki rodzaj funkcji jest w perspektywie, ani jakie podejście do różnic jest podejmowane. Co to znaczy „uzyskać różniczkowalność funkcji”? Doktor Jerry odpowiedział sugerując jeden z możliwych kontekstów, podając definicję, która jest całkiem inna od tego, co widzieliśmy do tej pory, gdzie różniczki były po prostu liczbami nieskończonymi:
Hi Maria,The standard definition of the differential of a real-valued function f of a real variable is: At a given point x, the differential df_x (df sub x; usually the x is omitted) of f is the linear function defined on R by: df_x(h) = f'(x) * hEveryday usage of the differential often suppresses the fact that the differential is a linear function. For example, if y = f(x) = x^2, then we write: dy = df = 2x * dxwhere dx is used instead of h. This is for good reason. The finite numbers dy and dx appearing in dy = 2x * dx can be manipulated to obtain: dy/dx = 2xI feel that I haven't replied directly to your question. I think that this is because I don't fully understand your question. Please write again if my answer has not helped.
Ta definicja przyjmuje, że różnica funkcji jest sama w sobie funkcją, a mianowicie funkcją, której wartością jest zmiana pionowa \(delta y\) wzdłuż linii stycznej dla danej zmiany poziomej (h lub \(delta x\) lub dx). W ten sposób nie musimy myśleć o dy jako o liczbie, która nie jest w rzeczywistości liczbą (nieskończoność), ale otrzymujemy działanie mnożenia pochodnej przez dowolną liczbę dx.
W jego przykładzie, różnica \(f(x) = x^2\) przy x = 3 to \(df(h) = df_3(h) = f'(3)\cdot h = 6h\). Z tego punktu widzenia, zwykły sposób zapisu różniczki jako liczby jest tylko skrótem myślowym. Zachowując zmienną x, moglibyśmy powiedzieć w pełni: \(df_x(dx) = 2x dx\), lub krótko: \(dy = 2x dx\). Aby uzyskać bardzo nieco inną wersję tej definicji, zobacz tutaj.
Maria poprosiła o więcej, dając nieco więcej kontekstu, ale wciąż nie dość jasno określając, na jakim poziomie jest:
Thanks for your answer. I know that the question is a little bit confusing, and at the beginning I thought it was a problem of the translation from English of the Math books. Your answer helped a little, so I am going to try to rephrase it.What is the difference between finding the derivatives of a function (dy/dx), and finding its differentials (dy, dx)?In the books I've seen they define differentials supposing that f(x) is differentiable.My teacher gave a hint to reach this conclusion: if you can find the differentials of f, then f is differentiable, but if f is differentiable you can't necessarily find its differentials.That is why I can prove this, starting with a function that is differentiable.
Wciąż nie jest jasne, co oznacza „pochodne funkcji”; być może nie zamierza liczby mnogiej.
Doktor Jerry rozpoczął swoją odpowiedź od ponownego przedstawienia poprzedniej definicji:
Hi Maria,Suppose f(x) = x^2. To find the derivative of f we use the definition of derivative: f'(x) is the limit as h->0 of the quotient f(x+h) - f(x) ------------- hFor this function, f'(x) = 2x.Okay, this much is clear; there is no possible ambiguity.The differential of f at x is defined to be the linear function df, which is defined on all of R by: df(h) = f'(x) * hOften, the notation df(h) is shortened to df or, if y = f(x), then we write dy instead of df. Then the above definition is: dy = f'(x)*dx or dy/dx = f'(x)Unless you are studying differential geometry, in which dx is interpreted slightly differently, dx is not the differential of a function. It is a variable, the same as h.
Pominę resztę odpowiedzi, ponieważ nie sądzę, że pytanie i jego kontekst zostały kiedykolwiek wyjaśnione, więc nie jest jasne, jaka odpowiedź jest potrzebna.
Jeśli chcesz kopać głębiej …
Doktor Jerry wspomniał o geometrii różniczkowej mimochodem, jako o miejscu, gdzie różniczki są zdefiniowane głębiej. My tylko sporadycznie zapuszczaliśmy się na to terytorium; chcę tylko zacytować konkluzję niezarchiwizowanej odpowiedzi na pytanie o różniczki, autorstwa Doktora Fentona z 2009 roku, na wypadek gdybyś był zainteresowany:
There is also a more sophisticated viewpoint in which what is integrated is not a function f(x), but rather what is called a "differential form". This viewpoint involves a lot of complicated mathematical structure and is more commonly seen in calculus of functions of several variables (see, for example, http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form )but it can also be used in one-dimensional calculus as well (e.g. in David Bressoud's book _Second Year Calculus_).So, the easiest viewpoint is the purely formal one, in which you do useful but basically meaningless computations (du=g'(x)dx which does the bookkeeping), but there is also a more complicated viewpoint in which the computations are not meaningless, but they require you to learn more abstract mathematics. For example, the one-dimensional differential form dx becomes a mapping from intervals on the real line to R, and dx() = b-a ,while the differential form 3x^2dx (to use one of Bressoud's examples) is the mapping which takes the interval to b / b^3 a^3 | 3x^2 dx = --- - --- . / 3 3 aThis becomes the viewpoint used in modern differential geometry.
Różniczki w notacji całek definitywnych
W zeszłym tygodniu rozmawialiśmy o użyciu różniczek w symbolach pochodnych. Przyjrzyjmy się kilku pytaniom dotyczącym ich użycia w całkowaniu. Po pierwsze, mamy to, z 2002 roku:
The Meaning of 'dx' in an IntegralNo matter how many times it's explained to me, and even though I've taken several advanced math courses (diff eq, linear algebra, etc), nobody has ever given me a satisfactory explanation for the meaning of the notation in which an integral has dx appended to the end if x is the variable which we are integrating with respect to. In physics, for example, dx seems to mean a very small amount of x, and then we use it in an integral to integrate whatever physical quantity is being discussed. I just don't understand. Or, when a differential is defined, all of a sudden the dx has a meaning, but then when an integral is being evaluated, the teacher says, "Oh, the dx is just a formality." So, sometimes it's a formality, sometimes a vital concept, sometimes a physical quantity, sometimes a derivative: What is it?
Gdy piszemy \(\int f(x) dx\), czytamy to jako „całkę z f(x) względem x”, nie przypisując „dx” żadnego innego znaczenia niż to, że mówi nam, na jakiej zmiennej nam zależy. (W rzeczywistości, czasami dx może być całkowicie pominięte, gdy zmienna jest jasna!). Nie różni się to zbytnio od użycia w pochodnej, gdzie również oznacza „w odniesieniu do x”. Co to oznacza tutaj?
Doktor Jeremiah podjął to pytanie, skupiając się na idei całki definitywnej:
Hi Nosson,Think about it this way:An integral gives you the area between the horizontal axis and the curve. Most of the time this is the x axis. y | | --|-- ----|---- f(x) / | \ / | / | -------- | | / | | -----|------- | | | | | | | | ----------|--------------+--------------------|----- x a bAnd the area enclosed is: b / Area = | f(x) dx / a
To jest definicja całki definitywnej, w szerokim sensie; to, co następuje, określa, jak można ją obliczyć w zasadzie (a zatem, jak jest formalnie zdefiniowana):
But say you didn't want to use an integral to measure the area between the x axis and the curve. Instead you just calculate the average value of the graph between a and b and draw a straight flat line y = avg(x) (the average value of x in that range).Now you have a graph like this: y | | - | - - - | - - f(x) | / | \ / | -----|-----------------------------------|---- avg(x) | / | | - - -|- - - - | | | | | | | | ----------|--------------+--------------------|----- x a bAnd the area enclosed is a rectangle: Area = avg(x) w where w is the width of the sectionThe height is avg(x) and the width is w = b-a or in English, "the width of a slice of the x axis going from a to b."
Jego szerokość w będzie często nazywana \(\Delta x\); zobaczymy to później.
But say you need a more accurate area. You could break the graph up into smaller sections and make rectangles out of them. Say you make 4 equal sections: y | | |----|---| |-------|---- f(x) | | | | | | | |--------| | | | | | | | -----|---------| | | | | | | | | | | | | | | | | ----------|---------|----+---|--------|-------|----- x a bAnd the area is: Area = section 1 + section 2 + section 3 + section 4 = avg(x,1) w + avg(x,2) w + avg(x,3) w + avg(x,4) wwhere w is the width of each section. The sections are all the same size, so in this case w=(b-a)/4 or in English, "the width of a thin slice of the x axis or 1/4 of the width from a to b."
Zaczynamy rozwijać całkę Reimanna (choć potrzeba wielu szczegółów, aby stworzyć kompletną definicję, ponieważ na przykład szerokości nie muszą być naprawdę takie same).
And if we write this with a summation we get: 4 +--- \ Area = / avg(x,n) w +--- n=1But it's still not accurate enough. Let's use an infinite number of sections. Now our area becomes a summation of an infinite number of sections. Since it's an infinite sum, we will use the integral sign instead of the summation sign: / Area = | avg(x) w /where avg(x) for an infinitely thin section will be equal to f(x) in that section, and w will be "the width of an infinitely thin section of the x axis."So instead of avg(x) we can write f(x), because they are the same if the average is taken over an infinitely small width.
Znowu wiele szczegółów jest pomijanych, aby zachować intuicyjność.
And we can rename the w variable to anything we want. The width of a section is the difference between the right side and the left side. The difference between two points is often called the delta of those values. So the difference of two x values (like a and b) would be called delta-x. But that is too long to use in an equation, so when we have an infinitely small delta, it is shortened to dx.If we replace avg(x) and w with these equivalent things: / Area = | f(x) dx /
Tak więc, podobnie jak w nieskończenie małym podejściu do pochodnej, dx jest myślany (nieformalnie) jako bardzo mała zmiana w x.
So what the equation says is:Area equals the sum of an infinite number of rectangles that are f(x) high and dx wide (where dx is an infinitely small distance).So you need the dx because otherwise you aren't summing up rectangles and your answer wouldn't be total area.dx literally means "an infinitely small width of x".
To, oczywiście, odnosi się konkretnie do całki definitywnej. Z tej perspektywy możemy myśleć o całce nieokreślonej jako odziedziczeniu tej samej notacji poprzez Fundamentalne Twierdzenie Rachunku, które wiąże te dwie rzeczy razem.
Różniczka nie musi być na końcu!
Jedną z konsekwencji uczenia studentów, że różniczka w całce oznacza tylko „… w odniesieniu do x” można zobaczyć w poniższym pytaniu, z 2003 roku, dotyczącym stosunkowo nietypowej odmiany zapisu:
Integral Notation - Missing IntegrandsI have seen some integral notation used that I am not familiar with. It looks like this: / | dx f(x) + .../There does not seem to be an integrand (i.e. a function being integrated). I'm not sure if f(x) is to be integrated. I have two theories, but I can't see the point in writing the expression as it is if either of my theories is correct.My theories about what this might mean:1) The above notation is the same as writing: / | 1 dx f(x) + ... (note the explicit 1 here)/=(x + C) * f(x) + ... (where C is a constant of integration)2) The rest of the expression is to be integrated with respect to x.If (1) is correct, then what was the point of writing the integral - why wasn't (x + C) just written instead? If (2) is correct, then how does one know when to "stop integrating" (i.e. if there is some term to be added on to the expression that is not to be integrated, how is it distinguished?).I have seen this recently in multi-variate calculus, i.e. when x is in R^n rather than R: does this situation justify the use of the integral notation somehow?
Pierwsze przypuszczenie Chrisa jest takie, że dx zamyka całkę, więc to, co następuje potem, należy pomnożyć; drugie (które jest poprawne) jest takie, że nie ma znaczenia, gdzie dx jest umieszczone.
Ma rację, że ta notacja jest szczególnie powszechna w rachunku z więcej niż jedną zmienną. Można napisać, na przykład, $int_0^b dy\int_0^a dx f(x,y)$ lub $int_0^b dy\int_0^a f(x,y) dx$ zamiast $int_0^b dy\int_0^a f(x,y)dx dy$, aby wskazać, że mamy całkować najpierw względem x, a następnie całkować wynik względem y. Jedną z korzyści jest to, że dzięki temu łatwiej jest zobaczyć, które granice idą z którą zmienną.
Odpowiedziałem:
Hi, Chris.It is common to learn about integration in such a way that the "dx" seems to be a marker for the end of the integral, as if the "long S" were a left parenthesis and the "dx" were the right parenthesis. But it doesn't work that way. In fact, what you are integrating is the product of a function and dx; and multiplication is commutative! So these mean the same thing: / / | f(x) dx and | dx f(x) / /If you then add something, you must use parentheses if it is to be part of the integral: / / | dx f(x) + g(x) = + g(x) / /is the sum of an integral and a function, while / / | dx (f(x) + g(x)) = | (f(x) + g(x)) dx / /is the integral of the sum of two functions.That is, presumably the integral has higher precedence than addition, so you "stop integrating" at the first plus sign. But even then, I'm not positive that this rule I just made up is always followed; let me know if you think it doesn't fit the practice in your text, and show me an example.
Obserwowanie różniczki jako części produktu jest konieczne, aby zrozumieć notację. Można to zrobić niezależnie od tego, czy myślisz o dx jako zwykłej notacji, tak że „produkt” jest tak iluzoryczny, jak „iloraz” w pochodnej, czy myślisz wyraźnie o sumie Riemanna.
Nie widzę, aby moje pomysły dotyczące nawiasów były powszechnie przestrzegane; nie jest rzadkością zobaczyć \(\int x^2-2x+3 dx\), a nie \(\int (x^2-2x+3) dx\). Wynika to prawdopodobnie z powszechnego użycia różniczki do zakończenia całki oraz z faktu, że bezsensowne byłoby traktowanie dx jako związanego tylko z ostatnim członem, pomimo zwykłej kolejności operacji. Ta niedbałość może się przenieść na całki, w których dx jest zapisane jako pierwsze, choć tam niejednoznaczność jest znacznie większa. Zbyt często, podobnie jak w niektórych innych aspektach kolejności operacji, ostatecznie musisz po prostu rozpoznać, jaka interpretacja ma sens w kontekście.
Pisząc to, przyszło mi do głowy, że moje odniesienie do komutatywności nie jest całkiem ważne, szczególnie jeśli chodzi o całki zespolone. Nie są one takie same: $$int_0^bint_0^a f(x,y)dx dy$
To dlatego, że kolejność różniczek określa znaczenie granic całkowania. Wszystko o notacji rachunku jest trochę śliskie.
Chris odpowiedział,
Doctor Peterson,Thank you for your quick and helpful reply.I was indeed taught that integration begins with the "long S" and ends with the (for example) dx.I have, however, seen the following notation: / | dx | ------------ | f(x) + g(x)/and assumed it was a convenient notation rather than being a justifiable mathematical expression.Perhaps I need to go and look at calculus from first principles again to see why this is the case.
To jest zarówno wygodna notacja, jak i uzasadniona! Ponownie, myślimy o dx jako pomnożonym przez ułamek, a zatem równoważnym części licznika.
Szczególnie dobry przykład użyteczności różniczki w całce nieokreślonej pojawia się w metodzie podstawiania, gdzie możemy zastąpić dx wyrażeniem, które faktycznie mnożymy:
Why Does Integration by Substitution Work?
Spojrzałem na tę stronę w poście Integracja przez podstawianie.