Możliwe jest ustalenie pochodzenia słowa „ratio” od starożytnego greckiego λόγος (logos). Wcześni tłumacze oddali je na łacinę jako ratio („rozum”; jak w słowie „racjonalny”). Bardziej współczesna interpretacja znaczenia słowa Euklidesa jest bardziej zbliżona do obliczania lub liczenia. Średniowieczni pisarze używali słowa proportio („proporcja”) na oznaczenie stosunku i proportionalitas („proporcjonalność”) na równość stosunków.
Euklides zebrał wyniki pojawiające się w Elementach z wcześniejszych źródeł. Pitagorejczycy rozwinęli teorię proporcji i stosunku w odniesieniu do liczb. Pojęcie liczby u pitagorejczyków obejmowało tylko to, co dziś nazwalibyśmy liczbami racjonalnymi, co poddawało w wątpliwość słuszność tej teorii w geometrii, gdzie, jak odkryli pitagorejczycy, istnieją niewspółmierne stosunki (odpowiadające liczbom irracjonalnym). Odkrycie teorii proporcji, która nie zakłada współmierności, zawdzięczamy prawdopodobnie Eudoksosowi z Cnidus. Ekspozycja teorii proporcji, która pojawia się w VII księdze Elementów, odzwierciedla wcześniejszą teorię stosunków współmierności.
Istnienie wielu teorii wydaje się niepotrzebnie skomplikowane, ponieważ proporcje są w dużej mierze utożsamiane z ilorazami i ich wartościami perspektywicznymi. Jest to jednak stosunkowo niedawna zmiana, o czym może świadczyć fakt, że we współczesnych podręcznikach geometrii nadal używa się odrębnej terminologii i notacji dla stosunków i ilorazów. Przyczyny tego są dwojakie: po pierwsze, wspomniana wcześniej niechęć do akceptowania liczb irracjonalnych jako prawdziwych, a po drugie, brak powszechnie stosowanej symboliki, która zastąpiłaby ustaloną już terminologię stosunków, opóźnił pełną akceptację ułamków jako alternatywy aż do XVI wieku.
Definicje EuklidesaEdit
Księga V Elementów Euklidesa zawiera 18 definicji, z których wszystkie dotyczą stosunków. Ponadto Euklides używa pojęć, które były w tak powszechnym użyciu, że nie zamieścił dla nich definicji. Pierwsze dwie definicje mówią, że część danej wielkości jest inną wielkością, która ją „mierzy” i odwrotnie, wielokrotność danej wielkości jest inną wielkością, którą ona mierzy. We współczesnej terminologii oznacza to, że wielokrotność jakiejś wielkości jest tą wielkością pomnożoną przez liczbę całkowitą większą od jeden, a część jakiejś wielkości (czyli część alikwotowa) jest częścią, która pomnożona przez liczbę całkowitą większą od jeden daje tę wielkość.
Euklides nie definiuje terminu „miara”, tak jak jest on tu użyty. Te definicje są powtórzone, prawie słowo w słowo, jako definicje 3 i 5 w księdze VII.
Definicja 3 opisuje, czym jest stosunek w sposób ogólny. Nie jest ona rygorystyczna w sensie matematycznym i niektórzy przypisują ją raczej redaktorom Euklidesa niż samemu Euklidesowi. Euklides definiuje stosunek między dwiema wielkościami tego samego rodzaju, a więc na podstawie tej definicji definiuje się stosunek dwóch długości lub dwóch pól powierzchni, ale nie stosunek długości i pola powierzchni. Definicja 4 czyni to bardziej rygorystycznym. Mówi ona, że stosunek dwóch wielkości istnieje, gdy istnieje wielokrotność każdej z nich, która przewyższa drugą. W nowoczesnej notacji, stosunek istnieje między wielkościami p i q, jeśli istnieją liczby całkowite m i n takie, że mp>q i nq>p. Warunek ten znany jest jako własność Archimedesa.
Definicja 5 jest najbardziej złożona i najtrudniejsza. Definiuje ona, co to znaczy, że dwa współczynniki są równe. Dziś można to zrobić po prostu stwierdzając, że współczynniki są równe, gdy ilorazy ich wyrazów są równe, ale taka definicja byłaby bez znaczenia dla Euklidesa. We współczesnej notacji Euklidesowa definicja równości mówi, że jeśli dane są wielkości p, q, r i s, to p∶q∷r ∶s wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych dodatnich liczb całkowitych m i n, np<mq, np=mq, lub np>mq odpowiednio jako nr<ms, nr=ms, lub nr>ms. Definicja ta ma pokrewieństwo z cięciami Dedekinda, gdyż przy n i q dodatnich, np odpowiada mq tak jak p/q odpowiada liczbie racjonalnej m/n (dzieląc oba wyrażenia przez nq).
Definicja 6 mówi, że wielkości, które mają ten sam stosunek są proporcjonalne lub w proporcji. Euklides używa greckiego słowa ἀναλόγον (analogon), które ma ten sam korzeń co λόγος i jest związane z angielskim słowem „analog”.
Definicja 7 definiuje, co to znaczy, że jeden stosunek jest mniejszy lub większy od drugiego i opiera się na ideach obecnych w definicji 5. W nowoczesnej notacji mówi ona, że dane wielkości p, q, r i s, p∶q>r∶s, jeśli istnieją liczby całkowite dodatnie m i n tak, że np>mq i nr≤ms.
Tak jak w przypadku definicji 3, definicja 8 jest uważana przez niektórych za późniejszy dodatek wprowadzony przez redaktorów Euklidesa. Definiuje ona, że trzy pojęcia p, q i r są w proporcji, gdy p∶q∷q∶r. Jest to rozszerzone do 4 terminów p, q, r i s jako p∶q∷q∶r∷r∶s, i tak dalej. Ciągi, które mają tę własność, że stosunki kolejnych członów są równe, nazywamy postępami geometrycznymi. Definicje 9 i 10 stosują się do tego, mówiąc, że jeśli p, q i r są proporcjonalne to p∶r jest ilorazem zdwojonym p∶q, a jeśli p, q, r i s są proporcjonalne to p∶s jest ilorazem potrójnym p∶q.