Twierdzenie AAS (Angle-Angle-Side) Theorem
Matematyka jest czystą nauką, więc prawie nigdy nie zatrzymasz się na ulicy i nie zostaniesz poproszony o sprawdzenie zgodności dwóch trójkątów. Gdyby jednak tak się stało, mógłbyś sprawdzić przystawalność trójkątów na pięć sposobów. Znajomość jak największej liczby metod pomaga, dając elastyczność w radzeniu sobie z każdą sytuacją, niezależnie od tego, czy zostaniesz zatrzymany na ulicy, czy w klasie. Ta metoda to twierdzenie AAS (Angle Angle Side).
- Twierdzenie AAS Definicja
Odkrywanie przystających trójkątów
Istnieje pięć metod sprawdzania przystawania trójkątów, choć jedna z nich jest ograniczona do trójkątów prostych. Oto wszystkie pięć metod:
- Bok Boczny — SSS
- Kąt Boczny — SAS
- Kąt Boczny — ASA
- Noga Hipotensyjna — HL Zarezerwowana dla trójkątów prostokątnych
- Kąt Boczny — AAS Hej! To jest ten, na którym jesteśmy!
W innych lekcjach zilustrowaliśmy inne metody i nie, nie układaliśmy „Kątów” i „Boków” na tyle sposobów, ile tylko przyszło nam do głowy. Zauważ, na przykład, że nie możesz znaleźć Kąta Kątowego jako dowodu kongruencji (to jest zarezerwowane dla podobieństwa), ani nie możesz ugotować postulatu Bocznego Kąta Bocznego.
Którekolwiek pojęcie widzisz wciśnięte pomiędzy inne, ta część jest zawarta. Zawarty kąt lub bok jest fizycznie pomiędzy innymi w trójkącie. Więc Side Angle Side (SAS) oznacza jeden bok, kąt obok tego boku, a następnie bok obok tego kąta. Ta strona jest tam, zupełnie sama, nie pomiędzy kątami.
Dla każdej metody testowania, sprawdzasz trzy części zidentyfikowane pomiędzy dwoma trójkątami. Jeśli odpowiednie części są przystające dla tych trzech części, to te dwa trójkąty są przystające. Te metody testowania lub dowody pozwalają ci ustalić przystawalność przez sprawdzenie tylko połowy części (z trzech możliwych boków i trzech możliwych kątów).
Twierdzenie AAS
Twój podręcznik prawdopodobnie nazywa to twierdzeniem, lub może to być oznaczone jako postulat; nie przejmuj się tym! Pamiętaj o koncepcji, a nie o skomplikowanych słowach, gdy będziesz próbował udowodnić przystawanie trójkątów.
Twierdzenie AAS Definicja
Zauważ, że jest tu mowa o „nieobjętym boku”, co oznacza, że bierzesz dwa kolejne kąty, a następnie przechodzisz do następnego boku (w dowolnym kierunku). Nie bierzesz boku pomiędzy tymi dwoma kątami! (Gdybyś to zrobił, użyłbyś Postulatu ASA).
Aby zademonstrować to na przykładzie rzeczywistych trójkątów, poniżej z dumą prezentujemy △GUM i △RED.
Czy są one przystające? Zwróć uwagę na małe kreski oznaczające wszystkie przystające trójkąty, które w skrócie matematycznym oznaczamy symbolem ≅.
Częściami przystającymi są:
- ∠G ≅ ∠R
- ∠M ≅ ∠D
- Bok GU ≅ Bok RE
Wiemy z tych trójkątów, że dwa kąty wewnętrzne są przystające (i kolejne, czyli obok siebie), ale nie wiemy nic o boku między nimi. Zamiast tego, pozornie bez pomocy, dowiadujemy się, że kolejny bok jest przystający.
Przechodząc przez nasz przybornik pełen metod badania przystawania trójkątów, możemy wypróbować każdą z nich:
- Side Side Side Side (SSS) — To nie zadziała, bo nie wiemy o wszystkich trzech bokach
- Side Angle Side (SAS) — To też nie zadziała, bo znamy dwa kąty, a nie dwa boki
- Angle Side Angle (ASA) — To na początku wygląda obiecująco, ale bok, o którym wiemy, nie jest bokiem zawartym; wystaje tam, poza jeden z dwóch znanych kątów
- Noga Hipotensji (HL) — Zapomnij o tym! To jest zarezerwowane dla trójkątów prostokątnych, których nie mamy
- Bok kątowy (AAS) — To jest bilet! To jest ten (jedyny), którego możemy użyć!
Dlaczego Twierdzenie AAS działa?
Szybko, do czego sumują się kąty wewnętrzne wszystkich trójkątów?
Mamy nadzieję, że powiedziałeś 180°, bo to jest poprawna odpowiedź. Jeśli znasz dwa kąty trójkąta, to znasz też trzy kąty trójkąta. To nie jest magia; to matematyka:
Rozwiązanie dla ∠U daje teraz dwa kąty z zawartym bokiem. Widziałeś to? Zrobiliśmy obrót wokół tej strony, która po prostu wystawała tam, zupełnie sama, i umieściliśmy ją między dwoma zidentyfikowanymi kątami, ∠G i ∠U. Jeśli dwa kąty i ich zawarte boki w jednym trójkącie są przystające do dwóch odpowiadających im kątów i ich zawartych boków w innym trójkącie, to te dwa trójkąty są przystające.
Twierdzenie AAS Przykład
Proponujemy tutaj dwa nowe trójkąty, △LEG i △ARM. Zwróć uwagę na wszystkie małe kreskowania wskazujące przystające kąty i boki:
∠L ≅ ∠A
∠E ≅ ∠R
Bok LG ≅ Bok AM
Wiedząc, że kąty wewnętrzne są przystające, co jeszcze wiesz?
Mamy nadzieję, że powiedziałeś, że ∠G ≅ ∠M, ponieważ:
- 180° – ∠L – ∠E = ∠G
- 180° – ∠A – ∠R = ∠M
- ∠G ≅ ∠M
Co teraz możesz zrobić? Wdrożyć ASA i ogłosić, że te dwa trójkąty są przystające, ponieważ:
∠L ≅ ∠A
Bok LG ≅ Bok AM
∠G ≅ ∠M
Co robią prawdziwi geometrzy
Nie ma potrzeby udowadniania przystawania trzeciego kąta, a następnie wdrażania ASA, ponieważ mamy, gotowe i czekające, Twierdzenie AAS. Tak więc prawdziwi matematycy i geometrzy po prostu przeskakują od razu do AAS i ogłaszają, że dwa trójkąty są przystające.
Jeśli musisz wyjaśnić to twierdzenie innemu studentowi, przyjacielowi lub przypadkowemu nieznajomemu na ulicy, nie możesz wykonać przeskoku od dwóch kątów do tajemniczego trzeciego kąta bez jakiegoś wyjaśnienia. Wtedy może być konieczne wyjaśnienie, jak w zasadzie rezygnujemy z jednego z naszych pierwotnych kątów na rzecz trzeciego kąta.
To właśnie to mentalne przesunięcie, z danego kąta do nowo zidentyfikowanego trzeciego kąta, pozwala wykorzystać niesamowitą moc ASA i zebrać naszą wcześniej odstającą stronę w dowód.
Na koniec, po przeprowadzeniu kumpla przez te kroki, uderz go wydajnością i jeszcze bardziej niesamowitą mocą AAS, gdzie dowolne dwa kąty i nieuwzględniony bok mogą być użyte do zidentyfikowania zgodności między trójkątami. Całkiem imponujące, nieprawdaż?
Podsumowanie lekcji
Teraz, gdy majstrowałeś przy trójkątach i przestudiowałeś te notatki, jesteś w stanie przypomnieć sobie i zastosować Twierdzenie o Kątach i Bokach (AAS), znać odpowiednie momenty do zastosowania AAS, zrobić związek między AAS i ASA, i (być może najbardziej pomocne ze wszystkich) wyjaśnić komuś innemu, jak AAS pomaga określić przystawalność trójkątów.
Następna lekcja:
Twierdzenie AAS